Question

當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足

x+2y-4≤0 x-y-1≤0 x≥1

時(shí)，1≤ax+y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，結(jié)合可行域內(nèi)特殊點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)滿足不等式列不等式組，求解不等式組得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：由約束條件作可行域如圖，
聯(lián)立

x=1 x+2y-4=0

，解得C（1，

3

2

）．
聯(lián)立

x-y-1=0 x+2y-4=0

，解得B（2，1）．
在x-y-1=0中取y=0得A（1，0）．
要使1≤ax+y≤4恒成立，
則

a-1≥0 a+ 3 2 -1≥0 a-4≤0 2a+1-4≤0

，解得：1≤a≤

3

2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，

3

2

]．

解法二：令z=ax+y，
當(dāng)a＞0時(shí)，y=-ax+z，在B點(diǎn)取得最大值，A點(diǎn)取得最小值，
可得

2a+1≤4 a≥1

，即1≤a≤

3

2

；
當(dāng)a＜0時(shí)，y=-ax+z，在C點(diǎn)取得最大值，
①a＜-1時(shí)，在B點(diǎn)取得最小值，可得

a+ 3 2 ≤4 2a+1≥1

，解得0≤a≤

5

2

（不符合條件，舍去）
②-1＜a＜0時(shí)，在A點(diǎn)取得最小值，可得

a+ 3 2 ≤4 a≥1

，解得1≤a≤

5

2

（不符合條件，舍去）
綜上所述即：1≤a≤

3

2

；
故答案為：[1，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了不等式組得解法，是中檔題．