Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x²+ax（其中無理數(shù)e=2.71828…，a∈R）．
（I）若函數(shù)f（x）在（0，e]上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：設(shè)函數(shù)f（x）的圖象在x=x₀處的切線為l，證明：f（x）的圖象上不存在位于直線l上方的點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）利用導數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的切線，利用函數(shù)的最值和導數(shù)之間的關(guān)系，即可的得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

-2x2+ax+1

x

=-

2x2-ax-1

x

，
要使f（x）在（0，e]上不單調(diào)，f'（x）在（0，e）內(nèi)必有零點且在零點左右異號，
即h（x）=2x²-ax-1在（0，e）內(nèi)有零點且在零點左右異號．   
因為△=a²+8＞0，
所以方程2x²-ax-1=0有兩個不等的實數(shù)根x₁，x₂，由于x₁x₂=-

1

2

＜0，
不妨設(shè)x₁＜0，x₂＞0，所以x₁＜0，x₂∈（0，e），
由h（x）圖象可知：h（0）h（e）＜0，
即2e²-ae-1＞0，解得 a＜2e-

1

e

．
（Ⅱ）因為f′(x0)=

1

x0

-2x0+a，
又切點C（x0，lnx0-

x

2 0

+ax0），所以切線l的方程為y-(lnx0-

x

2 0

+ax0)=(

1

x0

-2x0+a)(x-x0)，
即y=(

1

x0

-2x0+a)x-1+

x

2 0

+ln?x0，（x₀為常數(shù)）．…（8分）
令g(x)=f(x)-[(

1

x0

-2x0+a)x-1+

x

2 0

+ln?x0]，
則g（x）=ln?x-x2-[(

1

x0

-2x0)x-1+

x

2 0

+ln?x0]，
則g′(x)=

1

x

-2x-(

1

x0

-2x0)=-(x-x0)(

2xx0+1

xx0

)=-

2(x-x0)(x+ 1 2x0 )

x

，
因為x₀＞0，x，g′（x），g（x）的關(guān)系如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

因為g（x）≤g（x₀）=0，所以函數(shù)f（x）圖象上不存在位于直線l上方的點．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)之間的關(guān)系，以及導數(shù)的幾何意義，綜合性較強，運算量較大．