Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，右頂點為A，拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c，且|FA|=c，則雙曲線的漸近線方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的右頂點A（a，0），拋物線x²=2py（p＞0）的焦點及準線方程，根據已知條件得出a2+

p2

4

=c2①及

a

b

4b2+p 2

=2c②，求出a=b，得雙曲線的漸近線方程為：y=±x．

解答： 解：∵右頂點為A，
∴A（a，0），
∵F為拋物線x²=2py（p＞0）的焦點，
F(0，

p

2

)，
∵|FA|=c，
∴a2+

p2

4

=c2①
拋物線的準線方程為y=-

p

2

由

x2 a2 - y2 b2 =1 y=- p 2

得x=±

a

2b

4b2+p 2

，

a

b

4b2+p 2

=2c②，
c²=2a²，
∵c²=a²+b²，
∴a=b，
∴雙曲線的漸近線方程為：y=±x，
故答案為：y=±x．

點評：熟練掌握圓錐曲線的圖象與性質是解題的關鍵．