Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ax2+x（a∈R）．
（1）若函數f（x）在x=1處的切線平行于x軸，求實數a的值，并求此時函數f（x）的極值；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=lnx+ax2+x的定義域為（0，+∞），f′（x）= +2ax+1，

依題意有f′（1）=1+2a+1=0，解得a=﹣1．

此時，f′（x）= ，∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0，

∴函數f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數，

∴當x=1時，函數f（x）取得極大值，極大值為0

（2）解：因為f′（x）= ，

（ⅰ）當a≥0時，因為x∈（0，+∞），所以f′（x）= ＞0，此時函數f（x）在（0+∞）是增函數．

（ⅱ）當a＜0時，令f′（x）=0，則2ax2+x=1=0．因為△=1﹣8a＞0，

此時，f′（x）= = ，

其中，x1=﹣ ，x2=﹣ ．

因為a＜0，所以 x2＞0，又因為 x1x2= ＜0，所以x1＜0．

∴當0＜x1＜x2時，f′（x）＞0，當x1＞x2時，f′（x）＜0，

∴函數f（x）在（0，x2）上是增函數，在（x2，+∞）上是減函數．

綜上可知，當a≥0時，函數f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）；

當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間是（0，﹣ ），單調遞減區間是（﹣ ，+∞）

【解析】（1）由條件求得f′（x），再根據有f′（1）=0，求得a的值．（2）由條件求得f′（x），分類討論、利用導數的符號求粗函數的單調區間．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．