Question

π為圓周率，e=2.71828…為自然對數的底數．
（Ⅰ）求函數f（x）=

lnx

x

的單調區間；
（Ⅱ）求e³，3^e，e^π，π^e，3^π，π³這6個數中的最大數和最小數；
（Ⅲ）將e³，3^e，e^π，π^e，3^π，π³這6個數按從小到大的順序排列，并證明你的結論．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求函數定義域，然后在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到單調增、減區間；
（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．再根據函數y=lnx，y=e^x，y=π^x在定義域上單調遞增，可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，從而六個數的最大數在π³與3^π之中，最小數在3^e與e³之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的結論，得f（π）＜f（3）＜f（e），即

lnπ

π

＜

ln3

3

＜

lne

e

，由此進而得到結論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3^e＜π^e＜π³＜3^π，3^e＜e³，又由（Ⅱ）知，

lnπ

π

＜

lne

e

，得π^e＜e^π，故只需比較e³與π^e和e^π與π³的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e時，

lnx

x

＜

1

e

．，令x=

e2

π

，有ln

e2

π

＜

e

π

，從而2-lnπ＜

e

π

，即得lnπ＞2-

e

π

．①，由①還可得lnπ^e＞lne³，3lnπ＞π，由此易得結論；

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f（x）=

lnx

x

，∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
當f′（x）＞0，即0＜x＜e時，函數f（x）單調遞增；
當f′（x）＜0，即x＞e時，函數f（x）單調遞減．
故函數f（x）的單調遞增區間為（0，e），單調遞減區間為（e，+∞）．
（Ⅱ）∵e＜3＜π，
∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．
于是根據函數y=lnx，y=e^x，y=π^x在定義域上單調遞增，可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，
故這六個數的最大數在π³與3^π之中，最小數在3^e與e³之中．
由e＜3＜π及（Ⅰ）的結論，得f（π）＜f（3）＜f（e），即

lnπ

π

＜

ln3

3

＜

lne

e

，
由

lnπ

π

＜

ln3

3

，得lnπ³＜ln3^π，∴3^π＞π³；
由

ln3

3

＜

lne

e

，得ln3^e＜lne³，∴3^e＜e³．
綜上，6個數中的最大數是3^π，最小數是3^e．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3^e＜π^e＜π³＜3^π，3^e＜e³，
又由（Ⅱ）知，

lnπ

π

＜

lne

e

，得π^e＜e^π，
故只需比較e³與π^e和e^π與π³的大小．
由（Ⅰ）知，當0＜x＜e時，f（x）＜f（e）=

1

e

，即

lnx

x

＜

1

e

．
在上式中，令x=

e2

π

，又

e2

π

＜e，則ln

e2

π

＜

e

π

，
從而2-lnπ＜

e

π

，即得lnπ＞2-

e

π

．①
由①得，elnπ＞e（2-

e

π

）＞2.7×（2-

2.72

3.1

）＞2.7×（2-0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπ^e＞lne³，
∴e³＜π^e．
又由①得，3lnπ＞6-

3e

π

＞6-e＞π，即3lnπ＞π，
∴e^π＜π³．
綜上可得，3^e＜e³＜π^e＜e^π＜π³＜3^π，即6個數從小到大順序為3^e，e³，π^e，e^π，π³，3^π．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及其應用、數值的大小比較，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，難度較大．