Question

設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n滿足S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數n，有

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）本題可以用n=1代入題中條件，利用S₁=a₁求出a₁的值；
（2）利用a_n與S_n的關系，將條件轉化為a_n的方程，從而求出a_n；
（3）利用放縮法，將所求的每一個因式進行裂項求和，即可得到本題結論．

解答： 解：（1）令n=1得：

S

2 1

-(-1)S1-3×2=0，即

S

2 1

+S1-6=0．
∴（S₁+3）（S₁-2）=0．
∵S₁＞0，∴S₁=2，即a₁=2．
（2）由

S

2 n

-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0得：
(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0．
∵a_n＞0（n∈N^*），
∴S_n＞0．
∴Sn=n2+n．
∴當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，
又∵a₁=2=2×1，
∴an=2n(n∈N*)．
（3）由（2）可知

1

an(an+1)

=

1

2n(2n+1)

，
?n∈N^*，

1

an(an+1)

=

1

2n(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
當n=1時，顯然有

1

a1(a1+1)

=

1

6

＜

1

3

；
當n≥2時，

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

2•(2+1)

+

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

3

-

1

2

•

1

2n+1

＜

1

3

所以，對一切正整數n，有

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

．

點評：本題考查了數列的通項與前n項和的關系、裂項求和法，還用到了放縮法，計算量較大，有一定的思維難度，屬于難題．