Question

π為圓周率，e=2.71828…為自然對數的底數．
（Ⅰ）求函數f（x）=

lnx

x

的單調區間；
（Ⅱ）求e³，3^e，e^π，π^e，3^π，π³這6個數中的最大數與最小數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：函數思想

分析：第（Ⅰ）問中，先根據分式求導法則，再解對數不等式即可；
第（Ⅱ）問中，可先將6個數分組，比較各組內數的大小后，再比較組與組之間的數的大小，而數的大小比較，可以考慮函數y=lnx，y=e^x，y=π^x的單調性．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
由f（x）=

lnx

x

得f′(x)=

1-lnx

x2

．
當f′（x）＞0，即0＜x＜e時，f（x）單調遞增；
當f′（x）＜0，即x＞e時，f（x）單調遞減，
所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，e），單調遞減區間為（e，+∞）．

（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，
從而有ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．
于是，根據函數y=lnx，y=e^x，y=π^x在定義域上單調遞增，
可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，
∴這6個數的最大數在π³與3^π之中，最小數在3^e與e³之中．
由（Ⅰ）知，f（x）=

lnx

x

在[e，+∞）上單調遞減，
∴

lnπ π ＜ ln3 3 ln3 3 ＜ lne e

即

3lnπ＜πln3 eln3＜3lne

得

lnπ3＜ln3π ln3e＜lne3

∴

π3＜3π 3e＜e3

綜上可知，6個數中的最大數是3^π，最小數是3^e．

點評：1、求單調區間時，先寫出函數的定義域，為后面取區間時作參考．
2、利用指數函數、對數函數的單調性比較數的大小時，應注意以下幾個要點：
（1）尋找同底的指數式或對數式；
（2）分清是遞增還是遞減；
（3）把自變量的值放到同一個單調區間上．