Question

平面上一機器人在行進中始終保持與點F（1，0）的距離和到直線x=-1的距離相等，若機器人接觸不到過點P（-1，0）且斜率為k的直線，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由拋物線的定義，求出機器人的軌跡方程，過點P（-1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），代入y²=4x，利用判別式，即可求出k的取值范圍．

解答： 解：由拋物線的定義可知，機器人的軌跡方程為y²=4x，
過點P（-1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），
代入y²=4x，可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∵機器人接觸不到過點P（-1，0）且斜率為k的直線，
∴△=（2k²-4）²-4k⁴＜0，
∴k＜-1或k＞1．
故答案為：k＜-1或k＞1．

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．