Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且對任意正整數(shù)n都有an是n與Sn的等差中項，bn=an+1．
（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出其通項bn；
（2）若數(shù)列{Cn}滿足Cn= 且數(shù)列{C }的前n項和為Tn ， 證明Tn＜2．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an是n與的等差中項，

2an=n+Sn，

∴2an﹣1=n﹣1+Sn﹣1，（n≥2），

兩式相減得：2an﹣2an﹣1=1+an，

an=2an﹣1+1，（n≥2），

∴an+1=2（an﹣1+1），

∴bn=2bn﹣1，

=2，當n=1，2a1=1+S1，

∴a1=1，b1=2，

∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

bn=2n，

（2）證明：數(shù)列{Cn}滿足Cn= = ，

∴C = ，

當n=1時，T1= =1＜2，命題成立，

當n≥2， ，

＜1+ + +…+ ，

=1+1﹣ + ﹣ +…+ ，

=2﹣ ＜2，命題成立．

【解析】（Ⅰ）由an是n與Sn的等差中項，2an=n+Sn ， 當n≥2，2an﹣1=n﹣1+Sn﹣1 ， 相減得：2an﹣2an﹣1=1+an ， 化簡整理得：an+1=2（an﹣1+1），bn=2bn﹣1 ， b1=2，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；（Ⅱ）數(shù)列{Cn}滿足Cn= ，C = ，分類當n=1， =1＜2命題成立，當n≥2時， ＜1+ + +…+ ，采用裂項法，求得Tn=2﹣ ＜2，命題成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數(shù)列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：，以及對數(shù)列的前n項和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系．