Question

【題目】已知m、n∈R+ ， f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值為2，證明：4（m2+ ）的最小值為8．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：m、n∈R+，

當x≥ 時，f（x）=x+m+2x﹣n=3x+m﹣n，當x= 時，取得最小值m+ ；

當﹣m≤x≤ 時，f（x）=x+m+n﹣2x=﹣x+m+n，當x= 時，取得最小值m+ ；

當x≤﹣m時，f（x）=﹣（x+m）﹣（2x﹣n）=﹣3x﹣m+n，當x=﹣m時，取得最小值2m+n．

∵2m+n﹣ =m+ ＞0．

∴x= 時，f（x）的最小值為m+

（2）解：證明：由（1）可知：m+ =2，m、n∈R+，

∴4（m2+ ）≥2 =8，當且僅當m= =1時取等號

【解析】（1）對x與﹣m， 的大小關系分類討論，利用一次函數的單調性即可得出．（2）利用不等式的基本性質即可得出．
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．