Question

【題目】對于雙曲線，若點P（x0，y0）滿足，則稱P在的外部，若點P（x0，y0）滿足>1，則稱在的內部；

（1）若直線y=kx+1上的點都在C（1，1）的外部，求k的取值范圍；

（2）若C（a，b）過點（2，1），圓x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）內部及C（a，b）上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求b、r滿足的關系式及r的取值范圍；

（3）若曲線|xy|=mx2+1（m＞0）上的點都在C（a，b）的外部，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k＞或k＜﹣（2）， （3）

【解析】

（1）由題意可得直線上點P（x0，y0）滿足，且，即為恒成立，運用二次項系數小于0和判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍；
（2）將（2，1）代入雙曲線的方程，由圓和雙曲線的相交的弦長相等，弦所對的圓周角均為90°，且均為，聯立圓的方程和雙曲線的方程，求得交點坐標，可得弦長，化簡整理可得b、r的關系式和r的范圍；
（3））|xy|=mx2+1（m＞0），即為，由題意可得曲線上點P（x0，y0）滿足，代入，整理成的二次不等式，運用換元法和二次函數的性質，解不等式即可得到所求范圍.

解：（1）直線y=kx+1上的點都在C（1，1）的外部，可得
直線上點P（x0，y0）滿足，且，
即為，恒成立，
可得，且，
即有，解得或；
（2）若C（a，b）過點（2，1），可得，
即為，
由圓和雙曲線的相交的弦長相等，
弦所對的圓周角均為90°，且均為，
聯立，解得，
可得，
化簡可得，
令，則，
即有；
（3）|xy|=mx2+1（m＞0），即為，
由曲線|xy|=mx2+1（m＞0）上的點都在C（a，b）的外部，
可得曲線上點P（x0，y0）滿足，
即為，
即有，
令，即有，對恒成立，
時，顯然成立；
時，且，

由，可得，

解得.