Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1 ． 求證：

（1）直線DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵D，E分別為AB，BC的中點，

∴DE為△ABC的中位線，

∴DE∥AC，

∵ABC﹣A1B1C1為棱柱，

∴AC∥A1C1，

∴DE∥A1C1，

∵A1C1平面A1C1F，且DE平面A1C1F，

∴DE∥A1C1F

（2）解：∵ABC﹣A1B1C1為直棱柱，

∴AA1⊥平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1平面AA1B1B，

∴A1C1⊥平面AA1B1B，

∵DE∥A1C1，

∴DE⊥平面AA1B1B，

又∵A1F平面AA1B1B，

∴DE⊥A1F，

又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D平面B1DE，

∴A1F⊥平面B1DE，

又∵A1F平面A1C1F，

∴平面B1DE⊥平面A1C1F

【解析】（1）通過證明DE∥AC，進而DE∥A1C1 ， 據此可得直線DE∥平面A1C1F1；（2）通過證明A1F⊥DE結合題目已知條件A1F⊥B1D，進而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．