Question

【題目】已知橢圓C的左右頂點分別為A（﹣2，0），B（2，0），橢圓上除A、B外的任一點C滿足kACkBC=﹣ ．

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點P（4，0）任作一條直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，在x軸上是否存在點Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明現由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可設橢圓的標準方程為： =1（a＞b＞0），

設橢圓上的任意一點C（x，y），∵kACkBC=﹣ ，

∴ =﹣ ，整理化為： =1．

點A（﹣2，0），B（2，0），也滿足上述方程，

∴橢圓C的標準方程為： =1

（2）解：假設在x軸上存在點Q，使得∠PQM+∠PQN=180°，

設直線QM，QN的斜率存在，分別設為k1，k2，等價于k1+k2=0．

設直線l的方程為y=k（x﹣4），聯立 ，化為：（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0，

則△=256k4﹣4（2k2+1）（32k2﹣4）＞0，化為k2 ．

設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2= ，x1x2= ，

設Q（m，0），則k1+k2= + =0．又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），

化為：k（x1﹣4）（x2﹣m）+k（x2﹣4）（x1﹣m）=0，

∴k=0，或2x1x2﹣（m+4）（x1+x2）+8m=0，

∴2× ﹣（m+4）× +8m=0，化為：m﹣1=0，解得m=1．

k=0時也成立．

綜上可得：在x軸上存在點Q（1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°

【解析】（1）由題意可設橢圓的標準方程為： =1（a＞b＞0），設橢圓上的任意一點C（x，y），由kACkBC=﹣ ，利用斜率計算公式可得 =﹣ ，整理化簡即可得出．（2）假設在x軸上存在點Q，使得∠PQM+∠PQN=180°，設直線QM，QN的斜率存在，分別設為k1 ， k2 ， 等價于k1+k2=0．設直線l的方程為y=k（x﹣4），與橢圓方程聯立化為：（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0，設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），設Q（m，0），則k1+k2= + =0．化為：k（x1﹣4）（x2﹣m）+k（x2﹣4）（x1﹣m）=0，把根與系數的關系代入即可得出．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．