Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面，且為等腰直角三角形，，、分別為、的中點(diǎn).

（1）求證：//平面 ；
（2）若線段中點(diǎn)為,求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析（2）

試題分析：（1）要證//平面,可證明與平面內(nèi)的一條直線平行,邊結(jié)由中位線定理得這條直線就是.（2）以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系, 由側(cè)面底面可得為平面的法向量，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)與平面內(nèi)兩條直線所在直線的方向向量從而可求出平面的法向量,求二面角的余弦值可用向量法.
試題解析：（1）證明：連接，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033737327526.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，為的中點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)，且也是 的中點(diǎn)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033737389318.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，所以中，是中位線，所以 ,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033738122407.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以平面,
（2）取的中點(diǎn)，建如圖坐標(biāo)系，則相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 
所以
因?yàn)閭?cè)面底面，為平面的法向量，

設(shè) 為平面的法向量，
則由∴
∴
設(shè)二面角的大小,則為銳角，
則．
即二面角的余弦值為．