Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，⊥平面，

（1）求證：；
（2）求二面角的大小.

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；(2)．

試題分析：(1)要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，一般通過(guò)證明線(xiàn)面垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么我們就要尋找圖形中已有哪些與待證線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，本題中首先由已知有，又有平面，則，故可證明與過(guò)的平面垂直，從而得線(xiàn)線(xiàn)垂直；(2)要求二面角的大小，一般須根據(jù)定義作出二面角的平面角，在三角形中解出，而平面角就是要與二面角的棱垂直的直線(xiàn)(射線(xiàn))，題中棱是，在兩個(gè)面(半平面)內(nèi)與垂直的直線(xiàn)是哪個(gè)呢？注意到已知，因此有，從而與都是以為底邊的等腰三角形，故垂直關(guān)系就是取底邊中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有，，就是我們要找的平面角．
試題解析：（1）連接BD，∵⊥平面
平面
∴AC⊥SD         4分
又四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∴AC ⊥平面SBD
∴AC⊥SB.         6分

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，
∵SD=AD,CS=CA,
∴DE⊥SA, CE⊥SA.
∴是二面角的平面角.     9分
計(jì)算得：DE＝，CE＝，CD＝2，則CD⊥DE.
,
所以所求二面角的大小為 .   12分