Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面BB₁C₁C為菱形，AB⊥B₁C．
（Ⅰ）證明：AC=AB₁；
（Ⅱ）若AC⊥AB₁，∠CBB₁=60°，AB=BC，求二面角A-A₁B₁-C₁的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,空間向量的夾角與距離求解公式

專題：空間向量及應用

分析：（1）連結BC₁，交B₁C于點O，連結AO，可證B₁C⊥平面ABO，可得B₁C⊥AO，B₁0=CO，進而可得AC=AB₁；
（2）以O為坐標原點，

OB

的方向為x軸的正方向，|

OB

|為單位長度，

OB1

的方向為y軸的正方向，

OA

的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值．

解答： 解：（1）連結BC₁，交B₁C于點O，連結AO，
∵側面BB₁C₁C為菱形，
∴BC₁⊥B₁C，且O為BC₁和B₁C的中點，
又∵AB⊥B₁C，∴B₁C⊥平面ABO，
∵AO?平面ABO，∴B₁C⊥AO，
又B₁0=CO，∴AC=AB₁，
（2）∵AC⊥AB₁，且O為B₁C的中點，∴AO=CO，
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，
∴OA，OB，OB₁兩兩垂直，
以O為坐標原點，

OB

的方向為x軸的正方向，|

OB

|為單位長度，

OB1

的方向為y軸的正方向，

OA

的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系，
∵∠CBB₁=60°，∴△CBB₁為正三角形，又AB=BC，
∴A（0，0，

3

3

），B（1，0，0，），B₁（0，

3

3

，0），C（0，-

3

3

，0）
∴

AB1

=（0，

3

3

，-

3

3

），

A1B1

=

AB

=（1，0，-

3

3

），

B1C1

=

BC

=（-1，-

3

3

，0），
設向量

n

=（x，y，z）是平面AA₁B₁的法向量，
則

n • AB1 = 3 3 y- 3 3 z=0 n • A1B1 =x- 3 3 z=0

，可取

n

=（1，

3

，

3

），
同理可得平面A₁B₁C₁的一個法向量

m

=（1，-

3

，

3

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

7

，
∴二面角A-A₁B₁-C₁的余弦值為

1

7

點評：本題考查空間向量法解決立體幾何問題，建立坐標系是解決問題的關鍵，屬中檔題．