Question

【題目】已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元．設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）= ．
（1）求年利潤W（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（2）當年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當0＜x≤10時，

W=xR（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣ ﹣10，

當x＞10時，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣ ﹣2.7x，

∴W= ．

（2）解：①當0＜x≤10時，

由W′=8.1﹣ =0，得x=9，且當x∈（0，9）時，w′＞0，

當x∈（9，10）時，w′＜0．

∴當x=9時，W取最大值，且wmax=8.1×9﹣ ﹣10=38.6

x＞10時，W=98﹣（ ）≤98﹣2 =38，

當且僅當 =2.7x，即x= 時W取得最大值38．

綜合①②知：當x=9時，W取得最大值38.6．故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲的年利潤最大．

【解析】（1）當0＜x≤10時，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣ ﹣10，當x＞10時，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣ ﹣2.7x，由此能求出年利潤W（萬元）關于該特許商品x（千件）的函數解析式．（2）當0＜x≤10時，由W′=8.1﹣ =0，得x=9，推導出當x=9時，W取最大值，且wmax=38.6；當x＞10時，W≤38．由此得到當年產量為9千件時，該公司在該特許商品生產中獲利最大．