Question

3．近年來，微信越來越受歡迎，許多人通過微信表達自己、交流思想和傳遞信息，微信是現代生活中進行信息交流的重要工具．而微信支付為用戶帶來了全新的支付體驗，支付環節由此變得簡便而快捷．某商場隨機對商場購物的100名顧客進行統計，其中40歲以下占$\frac{3}{5}$，采用微信支付的占$\frac{2}{3}$，40歲以上采用微信支付的占$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）請完成下面2×2列聯表：

	40歲以下	40歲以上	合計
使用微信支付
未使用微信支付
合計

并由列聯表中所得數據判斷有多大的把握認為“使用微信支付與年齡有關”？
（Ⅱ）若以頻率代替概率，采用隨機抽樣的方法從“40歲以下”的人中抽取2人，從“40歲以上”的人中抽取1人，了解使用微信支付的情況，問至少有一人使用微信支付的概率為多少？
參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．
參考數據：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.760	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由40歲以下的有100×$\frac{3}{5}$=60人，使用微信支付的有60×$\frac{2}{3}$=40人，40歲以上使用微信支付有40×$\frac{1}{4}$=10人．即可完成2×2列聯表，根據2×2列聯表求得觀測值K²與參考值對比即可求得答案；
（Ⅱ）分別求得“40歲以下”的人中抽取2人，這兩人使用微信支付的概率，從“40歲以上”的人中抽取1人，這個人使用微信支付的概率，根據獨立事件的概率公式，即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得，40歲以下的有100×$\frac{3}{5}$=60人，使用微信支付的有60×$\frac{2}{3}$=40人，40歲以上使用微信支付有40×$\frac{1}{4}$=10人．
∴2×2列聯表為：

	40歲以下	40歲以上	合計
使用微信支付	40	10	50
未使用微信支付	20	30	50
合計	60	40	100

由列聯表中的數據計算可得K²的觀測值為k=$\frac{100×（40×30-20×10）^{2}}{60×40×50×50}$=$\frac{50}{3}$，由于$\frac{50}{3}$＞10.828，
∴有99.9%的把握認為“使用微信支付與年齡有關”；…（5分）
（Ⅱ） 若以頻率代替概率，采用隨機抽樣的方法從“40歲以下”的人中抽取2人，這兩人使用微信支付分別記為A，B，
則P（A）=P（B）=$\frac{2}{3}$，從“40歲以上”的人中抽取1人，這個人使用微信支付記為C，則P（C）=$\frac{1}{4}$，
顯然A，B，C相互獨立，
則至少有一人使用微信支付的概率為P=1-P（$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{C}$）=1-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{11}{12}$．
故至少有一人使用微信支付的概率為$\frac{11}{12}$．…（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗的應用，獨立事件的概率公式，考查計算能力，屬于中檔題．