Question

如圖，在四棱錐中，平面，平面，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)

試題分析：(Ⅰ)根據兩個平面垂直的條件，在平面內找到一條垂直于平面的直線即可，取的中點，可證明平面；(Ⅱ) 二面角與二面角相等，二面角的平面角為，求出即可.（解法2采用的是向量的方法，求出平面、的法向量，即可證明平面平面；求出平面、的法向量，即可求出二面角.）
(Ⅰ)證明：取的中點，的中點，連，，，則 

平面，平面，∴，
是平行四邊形，.
，，又平面.
平面.平面.
從而平面平面.                                6分
(Ⅱ)二面角與二面角相等，
由(Ⅰ)知二面角的平面角為.
，，
得，，
為正方形，，
∴二面角的大小為．                            12分
解法2：取的中點，連.
，，又平面.
以為原點建立如圖空間直角坐標系，

則由已知條件有: ，，
設平面的法向量為，
則由
及
可取 
又平面，，平面，
∴平面的法向量可取為.
， ∴，∴平面平面.          6分
（Ⅱ）設平面的法向量為，
則由
及
可取
∵平面的法向量可取為，
∴銳二面角的余弦值為，
∴二面角的大小為．                                12分.