Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數n，點P_n（n，S_n）都在偶函數f（x）=x²+bx的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=2ⁿ+a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據點與函數之間的關系求出b，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用分組求和法分別等比數列和等差數列的前n項和即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x²+bx是偶函數，
∴b=0，
∴f（x）=x²．
∵點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²的圖象上，
∴S_n=n²．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當n=1時，a₁=S₁=1也符合上式，
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）∵b_n=2ⁿ+a_n=2ⁿ+2n-1．
∴T_n=

2(1-2n)

1-2

+

(1+2n-1)

2

×n=2ⁿ⁺¹+n²-2．

點評：本小題主要考查偶函數的性質、數列通項公式的求法及數列前n項和求法中的分組求和、公式求和法，考查了學生運算求解能力和函數與方程思想、分類與整合思想等．