Question

已知函數.
（1）求函數的單調區間；
（2）證明：對任意的，存在唯一的，使；
（3）設（2）中所確定的關于的函數為，證明：當時，有.

Answer 1

（1）減區間是，增區間是；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先確定函數的定義域，然后利用導數求出函數的單調區間；（2）構造函數
，利用函數的單調性與零點存在定理來證明題中結論；（3）根據（2）中的結論得到
，利用換元法令得到，于是將問題轉化為且，構造新函數，利用導數來證明在區間上恒成立即可.
試題解析：（1）函數的定義域為，
，令，得，
當變化時，，的變化情況如下表：

		極小值

所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是；
（2）當時，.設，令，，
由（1）知在區間內單調遞增，
，，
故存在唯一的，使得成立；
（3），由（2）知，，且，
，
其中，，要使成立，只需且，
當時，若，則由的單調性，有，矛盾，
所以，即，從而成立.
又設，則，
所以在內是增函數，在內為減函數，
在上的最大值為
成立，
當時，成立.