Question

設函數f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導函數，.
（1）求的單調區間和最小值；
（2）討論與的大小關系；
（3）是否存在x₀＞0，使得|g（x）﹣g（x₀）|＜對任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范圍；若不存在請說明理由．

Answer 1

（1）g（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞），最小值為；（2）當0＜x＜1時，；當x＞1時，；（3）滿足條件的x₀不存在．證明詳見解析.

試題分析：（1）由題設得，求導，根據導數的符號即可確定g（x）的單調區間，進而求出其最小值；（2）為了確定與的大小關系，便作差判斷其符號.設，則，因此在內單調遞減.接下來就確定函數的零點.易知h（1）=0，即；所以當0＜x＜1，時，h（x）＞h（1）=0，即，當x＞1，時，h（x）＜h（1）=0，即；（3）根據（1）題的結果可作出的大致圖象；再作出的圖象，結合圖象可看出，不論取多少，當的值充分大時，必有，所以滿足條件的x₀不存在．接下來就是想方設法找出一個，使得.為了更容易地找出這樣的，我們將變形為，對左邊的不等式，易看出當時便不成立.從而問題得證.
試題解析：（1）由題設易知，
∴，令，得，
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，故g（x）的單調遞減區間是（0，1），
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，故g（x）的單調遞增區間是（1，+∞），
因此是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，
∴最小值為；
（2），
設，
則，
當x=1時，h（1）=0，即，
當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，h′（x）＜0，h′（1）=0，
因此，h（x）在內單調遞減，
當0＜x＜1，時，h（x）＞h（1）=0，即，
當x＞1，時，h（x）＜h（1）=0，即，
（3）滿足條件的x₀不存在．證明如下：假設存在x₀＞0，
使成立，即對任意x＞0，
有，（*）
但對上述x₀，取時，
有，這與（*）左邊不等式矛盾，
因此，不存在x₀＞0，使成立．