Question

設函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點，且x₁＜x₂．
（1）求的取值范圍；
（2）證明：（為函數(shù)的導函數(shù)）；
（3）設點C在函數(shù)的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記，求的值．

Answer 1

（1）;（2）詳見解析;（3） 

試題分析：（1）根據(jù)題意圖象與軸交于，兩點，由零點的定義可得：函數(shù)的圖象要與x軸有兩個交點，而此函數(shù)的特征不難發(fā)現(xiàn)要對它進行求導，運用導數(shù)與函數(shù)的關系進行求函數(shù)的性質(zhì)，即：，a的正負就決定著導數(shù)的取值情況，故要對a進行分類討論：分和兩種情況，其中顯然不成立，時轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值小于零，即可求出a的范圍; （2）由圖象與軸交于，兩點，結(jié)合零點的定義可得：整理可得：，觀察其結(jié)構特征，可想到整體思想，即：，目標為：，運用整體代入化簡可得：，轉(zhuǎn)化為對函數(shù)進行研究，運用導數(shù)知識不難得到，即：，故而是單調(diào)增函數(shù)，由不等式知：，問題可得證; （3）由題意有，化簡得，而在等腰三角形ABC中，顯然只有C = 90°，這樣可得，即，結(jié)合直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，所以，即，運用代數(shù)式知識處理可得： ，而，所以，即，所求得 
試題解析：（1）．
若，則，則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設矛盾．         2分
所以，令，則．
當時，，是單調(diào)減函數(shù)；時，，是單調(diào)增函數(shù)；
于是當時，取得極小值．                                    4分
因為函數(shù)的圖象與軸交于兩點，(x₁＜x₂)，
所以，即
此時，存在；
存在，
又由在及上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知為所求取值范圍.   6分
（2）因為 兩式相減得
記，則，     8分
設，則，所以是單調(diào)減函數(shù)，
則有，而，所以．
又是單調(diào)增函數(shù)，且
所以．                                           11分
（3）依題意有，則．
于是，在等腰三角形ABC中，顯然C = 90°，        13分
所以，即，
由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，
所以，即，
所以，
即．
因為，則，
又，所以，                    15分
即，所以                               16分