Question

在△ABC中，己知

AB

•

AC

=9，sinB=sinCcosA，又△ABC的面積為6
（1）求△ABC的三邊長；
（2）若D為BC邊上的一點，且CD=1，求tan∠BAD．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,兩角和與差的正切函數

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用兩角和的正弦公式、數量積運算和三角形的面積公式、勾股定理即可得出；
（2）由兩角和差的正切公式即可得出．

解答： 解（1）設三邊分別為a，b，c．
∵sinB=sinCcosA，
∴sin（A+C）=sinCcosA，
化為sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，
∴sinAcosC=0，
∴cosC=0，∴C=

π

2

．
又

AB • AC =| AB || AC |cosA=9 S= 1 2 | AB || AC |sinA=6

兩式相除可得tanA=

4

3

=

a

b

令a=4k，b=3k（k＞0），
∴S=

1

2

ab=6，∴

1

2

×4k×3k=6，解得k=1．
∴三邊長分別為3，4，5，
（2）由（1）可得：tan∠BAC=

4

3

，tan∠DAC=

1

3

，
∴tan∠BAD=tan（∠BAC-∠DAC）=

tan∠BAC-tan∠DAC

1+tan∠BACtan∠DAC

=

4 3 - 1 3

1+ 4 3 × 1 3

=

9

13

．

點評：本題考查了兩角和的正弦公式、數量積運算和三角形的面積公式、勾股定理、兩角和差的正切公式等基礎知識與基本技能方法，考查了計算能力，屬于難題．