Question

設△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內角A、B、C所對邊長，并且（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sin（

π

3

+B）•sin（

π

3

-B）．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積等于6

3

，a=2

7

，求b、c（其中b＜c）．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的正弦及三角函數間的平方關系可求得sin2A=

3

4

，△ABC是銳角三角形，于是可求得角A的值；
（Ⅱ）由△ABC的面積

1

2

bcsinA=

3

4

bc=6

3

，可求得bc=24，再利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=5，與已知條件結合可得b²+c²=52，于是解方程即可求得b、c．

解答： 解：（Ⅰ）∵（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sin（

π

3

+B）•sin（

π

3

-B），
∴sin2A-sin2B=(

3

2

cosB+

1

2

sinB)•(

3

2

cosB-

1

2

sinB)，
即sin2A-sin2B=

3

4

cos2B-

1

4

sin2B，∴sin2A=

3

4

．
又△ABC是銳角三角形，∴sinA=

3

2

，從而A=

π

3

．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知，得△ABC的面積

1

2

bcsinA=

3

4

bc=6

3

，∴bc=24①．
由余弦定理知，a²=b²+c²-2bccosA=5，將a=2

7

及bc=24代入，得b²+c²=52②
由①、②可得b+c=10．因此b，c是一元二次方程t²-10t+24=0的兩個根，解此方程并由b＜c知，b=4，c=6．…（10分）

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，突出考查正弦定理與余弦定理的應用，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．