Question

已知（

3	y

+

1

x

）⁵的展開式的第3項為10，
（1）求y=f（x）的解析式及定義域；
（2）若不等式2f（x）-1＞m（f²（x）-1）對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,二項式定理

分析：（1）通過已知條件列出關(guān)系式，即可求y=f（x）的解析式及定義域；
（2）利用（1）化簡不等式2f（x）-1＞m（f²（x）-1），然后變換主元，即可對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的范圍．

解答： 解：（1）∵（

3	y

+

1

x

）⁵的展開式的第3項為

C

2 5

•(

3	y

)3•(

1

x

)2=10，
即10y•

1

x

=10，即 y=x，故函數(shù)的解析式為 f（x）=x，且定義域為{x|x＞0}．
（2）∵不等式2f（x）-1＞m（f²（x）-1），即 2x-1＞m（x²-1），且x＞0．
即 m（x²-1）-2x+1＜0，滿足-2≤m≤2的所有m都成立．
令g（m）=m（x²-1）-2x+1，
∴

g(-2)≤0 g(2)≤0 x＞0

，即

-2x2-2x+3≤0 2x2-2x-1≤0 x＞0

，解得：

7 -1

2

≤x≤

1+ 3

2

，
x的范圍{x|

7 -1

2

≤x≤

1+ 3

2

}．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，二項式定理的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．