Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中點，△A1MC1是等腰三角形，D為CC1的中點，E為BC上一點．
（1）若DE∥平面A1MC1 ， 求 ；
（2）求直線BC和平面A1MC1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中點N，連結MN，C1N，

∵M，N分別為AB，CB中點

∴MN∥AC∥A1C1，

∴A1，M，N，C1四點共面，

且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，

又DE∩平面BCC1B1，

且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，

∵D為CC1的中點，∴E是CN的中點，

∴

（2）解：連結B1M，

因為三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥AB，即四邊形ABB1A1為矩形，且AB=2AA1，

∵M是AB的中點，∴B1M⊥A1M，

又A1C1⊥平面ABB1A1，

∴A1C1⊥B1M，從而B1M⊥平面A1MC1，

∴MC1是B1C1在平面A1MC1內的射影，

∴B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，

又B1C1∥BC，

∴直線BC和平面A1MC1所成的角即B1C1與平面A1MC1所成的角

設AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形

∴ ，則MC1=2， ，

∴cos = ，

∴直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值為 ．

【解析】（1）取BC中點N，連結MN，C1N，由已知得A1 ， M，N，C1四點共面，由已知條件推導出DE∥C1N，從而求出 ．（2）連結B1M，由已知條件得四邊形ABB1A1為矩形，B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，由此能求出直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的性質和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．