Question

設函數f（x）=alnx+

x-1

x+1

，其中a為常數．
（Ⅰ）若a=0，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義，曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-f（1）=f′（1）（x-1），代入計算即可．
（Ⅱ）先對其進行求導，即f′(x)=

a

x

+

2

(x+1)2

，考慮函數g（x）=ax²+（2a+2）x+a，分成a≥0，-

1

2

＜a＜0，a≤-

1

2

三種情況分別討論即可．

解答： 解：f′(x)=

a

x

+

2

(x+1)2

，
（Ⅰ）當a=0時，f′(x)=

2

(x+1)2

，f′（1）=

1

2

，f（1）=0
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=

1

2

（x-1）．
（Ⅱ）（1）當a≥0時，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（2）當a＜0時，令f′（x）＞0，則

a

x

+

2

(x+1)2

＞0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＞0，
令f′（x）＜0，則

a

x

+

2

(x+1)2

＜0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＜0．
以下考慮函數g（x）=ax²+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.△=8a+4=8(a+

1

2

)，對稱軸方程x=-

a+1

a

．
①當a≤-

1

2

時，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）
②當-

1

2

＜a＜0時，此時，對稱軸方程x=-

a+1

a

＞0，
∴g（x）=0的兩根均大于零，計算得
當

-(a+1)+ 2a+1

a

＜x＜

-(a+1)- 2a+1

a

時，g（x）＞0；
當0＜x＜

-(a+1)+ 2a+1

a

或x＞

-(a+1)- 2a+1

a

時，g（x）＜0．
綜合（1）（2）可知，
當a≤-

1

2

時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當-

1

2

＜a＜0時，f（x）在（

-(a+1)+ 2a+1

a

，

-(a+1)- 2a+1

a

）上單調遞增，在（0，

-(a+1)+ 2a+1

a

），（

-(a+1)- 2a+1

a

，+∞）上單調遞減；
當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

點評：導數是高考中極易考察到的知識模塊，導數的幾何意義和導數的單調性是本題檢查的知識點，特別是單調性的處理中，分類討論是非常關鍵和必要的，分類討論也是高考中經常考查的思想方法．