Question

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(0，)，且長軸長與短軸長的比是∶1.
 
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C上在第一象限的一點P的橫坐標為1，過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點A，B，求證：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

（1）＝1（2）見解析

(1)設橢圓C的方程為＝1(a>b>0)．由題意得 
解得a²＝4，b²＝2.所以橢圓C的方程為＝1.
(2)證明：由題意知，兩直線PA，PB的斜率必存在，設PB的斜率為k.又由(1)知，P(1，)，則直線PB的方程為y－＝k(x－1)．由 
得(2＋k²)x²＋2k(－k)x＋(－k)²－4＝0.
設A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，
則x_B＝1·x_B＝，
同理可得x_A＝，
則x_A－x_B＝，y_A－y_B＝－k(x_A－1)－k(x_B－1)＝.
所以k_AB＝＝為定值