Question

橢圓C₁:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,點P是雙曲線C₂:-=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點,直線AP,BP與橢圓C₁分別交于C,D點,若S_△ACD=S_△PCD.

(1)求P點的坐標.
(2)能否使直線CD過橢圓C₁的右焦點,若能,求出此時雙曲線C₂的離心率;若不能,請說明理由.

Answer 1

(1) P(2a,b)   (2) 能， e'=，理由見解析

(1)設P(x,y)在雙曲線上,則有b²x²-a²y²=a²b²　①,
∵A(-a,0),B(a,0),
∴PA的中點為C(,),
點C在橢圓上,代入橢圓方程,化簡得
b²x²+a²y²-2ab²x=3a²b²　②
①+②:2b²x²-2ab²x=4a²b²,
∴x²-ax-2a²=0,(x+a)(x-2a)=0.
∵P在雙曲線右支上,∴x+a≠0,則x=2a.
代入①:a²y²=3a²b²,P在第一象限,
∴y>0,y=b,得P(2a,b).
(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).
代入橢圓方程:
b²x²+a²·(x²-2ax+a²)=a²b²,
∴4b²x²-6ab²x+2a²b²=0.
2x²-3ax+a²=0,(2x-a)(x-a)=0.
∵x<a,∴x=,
從而y=(-)=-b,
得D(,-b).同理可得C(,b).
C,D橫坐標相同,知CD⊥x軸.
如CD過橢圓右焦點F₂(c,0),∴c=,即a=2c,
從而b²=a²-c²=a².設雙曲線半焦距為c',
則c'²=a²+b²=a²,∴e'=.
于是直線CD可通過橢圓C₁的右焦點,此時雙曲線C₂的離心率為e'=.