Question

橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)直線與橢圓M交于A、C兩點(diǎn)，直線與橢圓M交于B、D兩點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形
（1）求橢圓M的方程；
（2）求證：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于原點(diǎn)O；
（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）最小值為

試題分析：（1）依題意有，再加上，解此方程組即可得的值，從而得橢圓 的方程（2）由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD的對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)重合
利用（1）所得橢圓方程，聯(lián)立方程組消去得：，顯然點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)是這個(gè)方程的兩個(gè)根，由此可得線段的中點(diǎn)為 同理可得線段的中點(diǎn)為，由于中點(diǎn)重合，所以，解得：或(舍)這說(shuō)明和都過(guò)原點(diǎn)即相交于原點(diǎn)（3）由于對(duì)角線過(guò)原點(diǎn)且該四邊形為菱形，所以其面積為由方程組易得點(diǎn)A的坐標(biāo)（用表示），從而得（用表示）；同理可得（由于，故仍可用表示）這樣就可將表示為的函數(shù)，從而求得其最小值
試題解析：（1）依題意有，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040101204592.png" style="vertical-align:middle;" />，所以得
故橢圓的方程為                                    3分
（2）依題意，點(diǎn)滿足
所以是方程的兩個(gè)根
得
所以線段的中點(diǎn)為 
同理，所以線段的中點(diǎn)為         5分
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040101813524.png" style="vertical-align:middle;" />是平行四邊形，所以
解得，或(舍)
即平行四邊形的對(duì)角線和相交于原點(diǎn)                7分
（3）點(diǎn)滿足
所以是方程的兩個(gè)根，即
故
同理，                     9分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040102031564.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，其中
從而菱形的面積為
，
整理得，其中                 10分
故，當(dāng)或時(shí)，菱形的面積最小，該最小值為      12分