Question

【題目】已知A、B分別在射線CM、CN（不含端點C）上運動，∠MCN= π，在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c．
（Ⅰ）若a、b、c依次成等差數列，且公差為2．求c的值；
（Ⅱ）若c= ，∠ABC=θ，試用θ表示△ABC的周長，并求周長的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差為2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．
又∵ ， ，
∴ ，∴ ，
恒等變形得 c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．
又∵c＞4，∴c=7
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 ，
∴ ，AC=2sinθ， ．
∴△ABC的周長f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=
= = ，
又∵ ，∴ ，
∴當 ，即 時，f（θ）取得最大值
【解析】（Ⅰ）由題意可得 a=c﹣4、b=c﹣2．又因 ， ，可得 ，恒等變形得 c2﹣9c+14=0，再結合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ， ．△ABC的周長f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|= ．再由 ，利用正弦函數的定義域和值域，求得f（θ）取得最大值．