Question

【題目】如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為對角線B1D上的一點，M，N為對角線AC上的兩個動點，且線段MN的長度為1．
⑴當N為對角線AC的中點且DE= 時，則三棱錐E﹣DMN的體積是；
⑵當三棱錐E﹣DMN的體積為 時，則DE= ．

Answer 1

【答案】 ；
【解析】解：（1）∵底面ABCD是邊長為2的正方形，N是AC的中點，

∴AC⊥BD，DN= ，

∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴AC⊥BB1，又BB1∩BD=B，

∴AC⊥平面BB1D，

故當N為AC的中點時，有MN⊥平面DEN，

又DB1=2 ，BB1=2，∴sin∠BDB1= = ，

∴VE﹣DMN=VM﹣DEN= = = ．

⑵設三棱錐E﹣DMN的高為h，

則VE﹣DMN= = = = ，

∴h= ，

∵ ，即 ，∴DE= ．

所以答案是：（1） ，（2） ．