Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分別為邊AC，AB的中點，點F，G分別為線段CD，BE的中點．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使∠A1DC=60°．點Q為線段A1B上的一點，如圖2．
（Ⅰ）求證：A1F⊥BE；
（Ⅱ）線段A1B上是否存在點Q使得FQ∥平面A1DE？若存在，求出A1Q的長，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）當 時，求直線GQ與平面A1DE所成角的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：

∵A1D=DC，

∠A1DC=60°，

∴△A1DC為等邊三角形，又F為線段CD的中點，

∴A1F⊥DC，

由圖1可知ED⊥A1D，ED⊥DC，

∴ED⊥平面A1DC，又A1F平面A1DC，

∴ED⊥A1F，

又ED∩DC=D，DE平面BCDE，CD平面BCDE，

∴A1F⊥平面BCDE，又BE平面BCDE，

所以A1F⊥BE．

（Ⅱ）取A1B的中點Q，連接FG，FQ，GQ，

∵G，F，Q分別是BE，CD，A1B的中點，

∴FG∥DE，GQ∥A1E，

又FG平面GFQ，GQ平面GFQ，DE平面A1DE，A1E平面A1DE，

∴平面GFQ∥平面A1DE，又FQ平面GFQ，

∴FQ∥平面A1DE．

∴當Q為A1B的中點時，FQ∥平面A1DE．

連接BF，則BF= = ，

由（I）知△A1DC是邊長為2的等邊三角形，A1F⊥平面BCDE，

∴A1F= ，A1F⊥BF，

∴A1B= =2 ，

∴A1Q= = ．

（Ⅲ）以F為原點，以FC，FG，FA1為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則D（﹣1，0，0），E（﹣1，1，0），A1（0，0， ），B（1，2，0），G（0， ，0），

∴ =（1，2，﹣ ）， =（0，1，0）， =（1，0， ）， =（0，﹣ ， ），

∴ = =（ ， ，﹣ ），∴ = + =（ ，0， ），

設平面A1DE的法向量為 =（x，y，z），則 ，

∴ ，令z=1得 =（﹣ ，0，1），

∴cos＜ ＞= = =﹣ ，

設直線GQ與平面A1DE所成角為θ，則sinθ=|cos＜ ＞|= ，

∴直線GQ與平面A1DE所成角為30°．

【解析】（I）由DE⊥平面A1DC得出DE⊥A1F，再證出AF1⊥CD得出A1F⊥平面BCDE，從而得出A1F⊥BE；（II）取A1B的中點Q，連接FG，FQ，GQ，通過中位線證明平面GFQ∥平面A1DE，從而可得FQ∥平面A1DE；（III）以F為原點建立空間坐標系，求出平面A1DE的法向量 和 的坐標，則|cos＜ ＞|為所求角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．