Question

【題目】已知雙曲線C： =1（b＞a＞0）的右焦點為F，O為坐標原點，若存在直線l過點F交雙曲線C的右支于A，B兩點，使 =0，則雙曲線離心率的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】e＞
【解析】解：設焦點為F（c，0），直線AB：y=k（x﹣c），
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則聯立直線方程和雙曲線的方程，可得
（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2=0，
則△=4c2a4k4+4（b2﹣a2k2）（a2k2c2+a2b2）＞0，
x1+x2= ，x1x2= ，
則y1y2=k2（x1x2+c2﹣c（x1+x2））=k2 ，
由于OA⊥OB，則有x1x2+y1y2=0，
即有a2b2+a2k2c2+k2（a2b2﹣b2c2）=0，
即有k2= ，
代入判別式可得， （a2b2c2﹣a4b2）+a2b4＞0，
化簡可得，a2c2﹣a4+b2c2﹣a4＞0，
即有c4＞2a4 ， 即有e＞ ．
∵b＞a，∴e＞ ，
綜上所述e＞ ．
所以答案是e＞ ．
【考點精析】本題主要考查了雙曲線的概念的相關知識點，需要掌握平面內與兩個定點，的距離之差的絕對值等于常數（小于）的點的軌跡稱為雙曲線．這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距才能正確解答此題．