Question

【題目】設函數f（x）=eax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜ ，e是自然對數的底數
（1）求證：函數f（x）有兩個極值點；
（2）若﹣e≤a＜0，求證：函數f（x）有唯一零點．

Answer 1

【答案】
（1）證明： f′（x）=aeax+ = ，（x＞0），

令g（x）=axeax+λ，其中a＜0，x＞0，

求導得：g′（x）=aeax（1+ax），

令g′（x）=0，解得：x=﹣ ，

x∈（0，﹣ ）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，

x∈（﹣ ，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）遞增，

x=﹣ 時，g（x）取得極小值，也是最小值g（﹣ ）=λ﹣ ，

∵0＜λ＜ ，∴g（﹣ ）=λ﹣ ＜0，又g（0）=λ＞0，

∴g（﹣ ）g（0）＜0，

∴函數f（x）有兩個極值點；

（2）證明：由（1）得：

不妨令x2∈（﹣ ，+∞），

故ax2 +λ=0，

故f（x2）=（1﹣ax2lnx2） ，

令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣ ，+∞），

h′（x）=﹣a（lnx+1）＞﹣a（ln +1）=0，

∴f（x2）＞0，∵f（0）→負數，

∴函數f（x）有唯一零點．

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而判斷函數的極值點的個數；（2）根據函數的單調性，令x2∈（﹣ ，+∞），故f（x2）=（1﹣ax2lnx2） ，令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣ ，+∞），根據函數的單調性判斷即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．