Question

設函數f（x）=|x-1|+|x-a|，若對x≥1均有f（x）≥4成立，則實數a（a＞0）的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：由題意可得，當x≥1時，f（x）=|x-1|+|x-a|的最小值大于或等于4．利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為|a-1|，可得|a-1|≥4，由此求得a的范圍．

解答： 解：由題意可得，當x≥1時，f（x）=|x-1|+|x-a|的最小值大于或等于4，
而f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，故f（x）=|x-1|+|x-a|的最小值為|a-1|，
∴|a-1|≥4，即a-1≥4，或a-1≤-4．解得 a≥5，或 a≤-3 （舍去）．
故實數a（a＞0）的取值范圍為[5，+∞），
故答案為：[5，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．