Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形， ， ， ， ．

（I）求證： 平面．

（II）求與平面所成角的正弦值．

（III）線段上是否存在點，使平面平面？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）；(Ⅲ)見解析..

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又AC⊥FB，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）通過建立空間直角坐標系，求平面EAC的法向量，利用所成的角即可得出；
（Ⅲ）分別求出兩個平面的法向量， ，若平面EAC⊥平面QBC,只需即可.

試題解析：

(Ⅰ)

證明：不妨設BC=1，

∵AB=2BC,∠ABC=60,

在△ABC中,由余弦定理可得AC2=22+122×2×1×cos60=3，

∴AC2+BC2=AB2，

∴AC⊥BC.

又∵AC⊥FB，CB∩BF=B，

∴AC⊥平面FBC.

(Ⅱ)∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC.

∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD.

∴CA，CF，CB兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標系Cxyz.

在等腰梯形ABCD中，可得CB=CD.

設BC=1,所以C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),D(,12,0),E(,,1).

∴=(,,1), =(,0,0), =(0,1,0).

設平面EAC的法向量為=(x,y,z),則有.

∴.取z=1,得=(0,2,1).

設BC與平面EAC所成的角為θ,則.

所以BC與平面EAC所成角的正弦值為.

(Ⅲ)線段ED上不存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC.證明如下：

假設線段ED上存在點Q,設Q(,12,t)(0t1),所以CQ→=(,,t).

設平面QBC的法向量為=(a,b,c),則有，

所以.取c=1,得=(t,0,1).

要使平面EAC⊥平面QBC,只需=0，

即t×0+0×2+1×1=0，此方程無解。

所以線段ED上不存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC.