Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，底面邊長為2，為的中點(diǎn)，三棱柱的體積.

（1）求三棱柱的表面積；

（2）求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）由三棱柱體積，求出高AA′=3，由此能求出三棱柱的表面積；（2）取AC中點(diǎn)E，連結(jié)DE、C′E，由D為BC中點(diǎn)，得DE∥AB，從而∠C′DE是異面直線AB與C′D所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線AB與C′D所成角的余弦值．

詳解：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面△ABC邊長為2，D為BC的中點(diǎn)，三棱柱體積，

解得高AA′=3，

∴三棱柱的表面積：= ；

（2）取AC中點(diǎn)E，連結(jié)DE、C′E，

∵D為BC中點(diǎn)，∴DE∥AB，

∴∠C′DE是異面直線AB與C′D所成角（或所成角的補(bǔ)角），

∵DE=AB=1，C′D=C′E===，

∴cos∠C′DE===．