Question

已知函數f（x）=e^x+2x²-3x
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x≥1時，若關于x的不等式f（x）≥ax恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）求證函數f（x）在區間[0，1）上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數據e≈2.7，

e

≈1.6，e^0.3≈1.3）．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）求導數，可得切線斜率，求出切點的坐標，即可得出切線方程；
（2）分離參數，構造函數求最值，即可求實數a的取值范圍；
（3）證明f'（0）•f'（1）＜0，f'（x）在[0，1]上單調遞增，可得f'（x）在[0，1]上存在唯一零點，f（x）在[0，1]上存在唯一的極值點，再利用二分法求出x的近似值．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+2x²-3x，
∴f′（x）=e^x+4x-3，
∴f′（1）=e+1，
∵f（1）=e-1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e+1=（e+1）（x-1），即（e+1）x-y-2=0；
（2）x≥1時，不等式f（x）≥ax，可得a≤

ex+2x2-3x

x

，
令g（x）=

ex+2x2-3x

x

，∴g′（x）=

(x-1)ex+2x2

x2

，
∵x≥1，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴g（x）_min=g（1）=e-1，
∴a≤e-1；
（3）∵f'（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，
∴f'（0）•f'（1）＜0
令h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，
則h'（x）=e^x+4＞0，f'（x）在[0，1]上單調遞增，
∴f'（x）在[0，1]上存在唯一零點，f（x）在[0，1]上存在唯一的極值點．
取區間[0，1]作為起始區間，用二分法逐次計算如下

由上表可知區間[0.3，0.6]的長度為0.3，所以該區間的中點x2=0.45，到區間端點的距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2一個極值點的相應x的值
∴函數y=f（x）取得極值時，相應x≈0.45．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的最值與零點，正確分離參數求最值是關鍵．