課內課外直通車九年級數學北師大版四川專版
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6. 選擇合適的方法解下列方程：(1)$4(x - 5)^{2}=16$；
答案：$x_{1}=7$，$x_{2}=3$
解析：$(x - 5)^{2}=4$，$x - 5=\pm2$，解得$x_{1}=7$，$x_{2}=3$。
(2)$3x^{2}+2x - 3=0$；
答案：$x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{10}}{3}$，$x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{10}}{3}$
解析：$a=3$，$b=2$，$c=-3$，$\Delta=4 + 36=40$，$x=\frac{-2\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{10}}{3}$。
(3)$(x + 3)(x + 1)=5$；
答案：$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$
解析：將方程$(x + 3)(x + 1)=5$展開得$x^2 + 4x + 3 = 5$，移項化簡為$x^2 + 4x - 2 = 0$。其中$a=1$，$b=4$，$c=-2$，判別式$\Delta = b^2 - 4ac = 16 + 8 = 24$，則$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4\pm\sqrt{24}}{2} = -2\pm\sqrt{6}$，即$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$。
(4)$16(2x - 1)^{2}=25(x - 2)^{2}$。
答案：$x_1=\frac{14}{13}$，$x_2=-2$
解析：方程$16(2x - 1)^2 = 25(x - 2)^2$可化為$[4(2x - 1)]^2 - [5(x - 2)]^2 = 0$，利用平方差公式分解得$[4(2x - 1) + 5(x - 2)][4(2x - 1) - 5(x - 2)] = 0$。展開括號得$(8x - 4 + 5x - 10)(8x - 4 - 5x + 10) = 0$，即$(13x - 14)(3x + 6) = 0$。則$13x - 14 = 0$或$3x + 6 = 0$，解得$x_1=\frac{14}{13}$，$x_2=-2$。
7. 三角形的兩邊長分別是3和4，第三邊長是方程$x^{2}-13x + 40=0$的根，則該三角形的周長為
12
。
答案：12
解析：解方程$x^2 - 13x + 40 = 0$，因式分解得$(x - 5)(x - 8) = 0$，則根為$x_1=5$，$x_2=8$。當第三邊為5時，三角形三邊長為3，4，5，滿足三角形三邊關系（$3 + 4 > 5$），周長為$3 + 4 + 5 = 12$；當第三邊為8時，$3 + 4 = 7 < 8$，不滿足三角形三邊關系，舍去。故該三角形的周長為12。
8. 已知3是關于x的方程$x^{2}-(m + 1)x + 2m=0$的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長為(
D
)。A.7 B.10 C.11 D.10或11
答案：D
解析：將$x=3$代入方程得$9 - 3(m + 1)+2m=0$，解得$m=6$，方程為$x^{2}-7x + 12=0$，根為$x_{1}=3$，$x_{2}=4$。若等腰三角形腰長為3，底為4，周長為$3 + 3 + 4=10$；若腰長為4，底為3，周長為$4 + 4 + 3=11$，故周長為10或11。
9. 已知x是一元二次方程$x^{2}-2x + 1=0$的根，求代數式$\frac{x - 3}{3x^{2}-6x}÷(x + 2-\frac{5}{x - 2})$的值。
答案：$\frac{1}{12}$
解析：首先解方程$x^2 - 2x + 1 = 0$，因式分解得$(x - 1)^2 = 0$，解得$x=1$。化簡代數式：$\frac{x - 3}{3x^2 - 6x}\div(x + 2 - \frac{5}{x - 2})$，先對分母$3x^2 - 6x$提取公因式得$3x(x - 2)$；括號內通分：$x + 2 - \frac{5}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x - 2) - 5}{x - 2} = \frac{x^2 - 4 - 5}{x - 2} = \frac{x^2 - 9}{x - 2} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 2}$。則原式可化為$\frac{x - 3}{3x(x - 2)}\times\frac{x - 2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{3x(x + 3)}$。將$x=1$代入得$\frac{1}{3\times1\times(1 + 3)} = \frac{1}{12}$。
