課內課外直通車九年級數學北師大版四川專版
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7. 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}+2x - 35=0$；
(2)$5x^{2}-15x - 10=0$；
(3)$(20 + 2x)(40 - x)=1200$；
(4)$(x - 1)(x + 1)=2x$．
答案：(1)$x_{1}=5$，$x_{2}=-7$
解析：$a = 1$，$b = 2$，$c=-35$，$\Delta=4 + 140=144$，$x=\frac{-2\pm12}{2}$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-7$。
(2)$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
解析：方程$5x^{2}-15x - 10=0$兩邊同時除以5得$x^{2}-3x - 2=0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c=-2$，判別式$\Delta=(-3)^{2}-4×1×(-2)=9 + 8=17$，由求根公式可得$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$，即$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
(3)$x_{1}=10$，$x_{2}=20$
解析：展開得$800 - 20x + 80x - 2x^{2}=1200$，化簡為$-2x^{2}+60x - 400=0$，即$x^{2}-30x + 200=0$，$(x - 10)(x - 20)=0$，解得$x = 10$或$x = 20$。
(4)$x_{1}=1 + \sqrt{2}$，$x_{2}=1 - \sqrt{2}$
解析：方程化為$x^{2}-2x - 1=0$，$\Delta=4 + 4=8$，$x=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$。
8. 若關于x的一元二次方程$(k - 1)x^{2}+2x - 2=0$有不相等的實數根，則k的值不可能是（
C
）．
A. 2
B. 3
C. 1
D. 2.5
答案：C
解析：判別式$\Delta=4 + 8(k - 1)=8k - 4＞0$，解得$k＞\frac{1}{2}$，且$k - 1\neq0$即$k\neq1$，所以k不可能是1，選C。
9. 已知關于x的方程$x^{2}+ax + a - 2=0$．
(1)當該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一個根；
(2)求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．
答案：(1)$a=\frac{1}{2}$，另一個根為$-\frac{3}{2}$
解析：將$x = 1$代入方程得$1 + a + a - 2=0$，解得$a=\frac{1}{2}$，方程為$x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$，即$2x^{2}+x - 3=0$，另一根為$\frac{-\frac{3}{2}}{1}=-\frac{3}{2}$。
(2)證明：$\Delta=a^{2}-4(a - 2)=a^{2}-4a + 8=(a - 2)^{2}+4\geq4＞0$，所以方程總有兩個不相等的實數根。
10. 已知關于x的一元二次方程$(a + c)x^{2}+2bx + (a - c)=0$，其中a，b，c為$\triangle ABC$的三邊長．
(1)如果$x=-1$是方程的根，試判斷$\triangle ABC$的形狀，并說明理由；
(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷$\triangle ABC$的形狀，并說明理由；
(3)如果$\triangle ABC$是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
答案：(1)等腰三角形
解析：將$x=-1$代入方程得$(a + c)-2b + (a - c)=0$，化簡得$2a - 2b=0$，即$a = b$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2)直角三角形
解析：判別式$\Delta=4b^{2}-4(a + c)(a - c)=4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=4(b^{2}+c^{2}-a^{2})=0$，則$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，$\triangle ABC$是直角三角形。
(3)$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$
解析：等邊三角形$a = b = c$，方程為$2ax^{2}+2ax=0$，即$2ax(x + 1)=0$，解得$x = 0$或$x=-1$。
