全品學練考九年級數學蘇科版徐州專版
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9. （2023淮安清江浦區月考）小明與小紅兩位同學解方程$2(x + 3)=(x + 3)^{2}$的過程如下：
小明：兩邊都除以$(x + 3)$，得$2=x + 3$，則$x=-1$.
小紅：移項，得$2(x + 3)-(x + 3)^{2}=0$，提取公因式，得$(x + 3)(2 - x - 3)=0$，則$x + 3=0$或$2 - x - 3=0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=-1$.
你認為他們的解法是否正確？若正確，請在框內橫線上打“√”；若錯誤，請在框內橫線上打“×”，并寫出正確的解答過程.
答案：小明：×；小紅：√
解析：小明的解法錯誤，因為當$x + 3=0$時，兩邊不能同時除以$(x + 3)$，會丟失根$x=-3$。小紅的解法正確，通過移項、提取公因式因式分解，得到$(x + 3)(-x - 1)=0$，即$(x + 3)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=-1$。
10. 若關于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx + n=0$的兩個實數根分別為$5$，$-6$，則二次三項式$x^{2}+mx + n$可分解為（
B
）
A. $(x + 5)(x - 6)$
B. $(x - 5)(x + 6)$
C. $(x + 5)(x + 6)$
D. $(x - 5)(x - 6)$
答案：B
解析：因為方程$x^{2}+mx + n=0$的根為$5$和$-6$，所以二次三項式可分解為$(x - 5)(x + 6)$，故選B。
11. 關于$x$的方程$x(x - 1)=3(x - 1)$，下列解法完全正確的是（
D
）
甲：兩邊同時除以$(x - 1)$，得$x=3$.
乙：整理得$x^{2}-4x=-3$，$\because a=1$，$b=-4$，$c=3$，$b^{2}-4ac=16 - 12=4$，$\therefore x=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{4\pm2}{2}$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=1$.
丙：整理得$x^{2}-4x=-3$，配方得$x^{2}-4x + 4=1$，$\therefore (x - 2)^{2}=1$，$\therefore x - 2=\pm1$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=1$.
丁：移項，得$x(x - 1)-3(x - 1)=0$，$\therefore (x - 3)(x - 1)=0$，$\therefore x - 3=0$或$x - 1=0$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=1$.
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
答案：D
解析：甲的解法錯誤，當$x - 1=0$時不能直接除以$(x - 1)$；乙中$c$的值應為$3$，計算正確但步驟表述中$c=-3$錯誤；丙的配方過程正確，結果正確；丁通過因式分解求解，步驟和結果均正確，且更簡便，故選D。
12. 方程$2(x - 2)^{2}=x^{2}-4$的解是
$x_{1}=2$，$x_{2}=6$
.
答案：$x_{1}=2$，$x_{2}=6$
解析：原方程變形為$2(x - 2)^{2}-(x + 2)(x - 2)=0$，提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)[2(x - 2)-(x + 2)]=0$，化簡為$(x - 2)(x - 6)=0$，則$x - 2=0$或$x - 6=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=6$。
13. （2024南京期末）若關于$x$的一元二次方程$a(x - m)^{2}-2a(x - m)=0(a\neq0)$有實數根$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}＜1＜x_{2}$，則$m$的取值范圍是
$-1＜m＜1$
.
答案：$-1＜m＜1$
14. 若關于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx + c=0$的根為$x_{1}=-1$，$x_{2}=2$，則將多項式$x^{2}+bx + c$分解因式的結果為
$(x + 1)(x - 2)$
.
答案：$(x + 1)(x - 2)$
解析：因為方程的根為$-1$和$2$，所以多項式可分解為$(x + 1)(x - 2)$。
題組專練 利用十字相乘法分解因式解一元二次方程
例（1）將$2x^{2}-3x - 2$進行因式分解，我們可以按下面的方法解答：
解：①豎分二次項與常數項：$2x^{2}=x\cdot2x$，$-2=(-2)×1$.
②交叉相乘，驗中項（交叉相乘后的結果相加，其結果須等于多項式中的一次項）：
$\begin{array}{c|cc}&x&-2\\\hline2x&2x^{2}&-4x\\1&x&-2\\\end{array}$
$2x×1 + x×(-2)=2x - 2x=0$（不符合），調整為：
$\begin{array}{c|cc}&x&1\\\hline2x&2x^{2}&2x\\-2&-2x&-2\\\end{array}$
$2x×(-2)+x×1=-4x + x=-3x$（符合）.
③橫向寫出兩因式：$2x^{2}-3x - 2=(x - 2)(2x + 1)$.
我們把這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
（2）根據乘法原理：若$ab = 0$，則$a = 0$或$b = 0$.
試用上述方法和原理解下列方程：
①$x^{2}-3x + 2=0$;
答案：$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
解析：十字相乘法分解因式，$x^{2}-3x + 2=(x - 1)(x - 2)=0$，則$x - 1=0$或$x - 2=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
②$x^{2}-x - 6=0$;
答案：$x_{1}=3$，$x_{2}=-2$
解析：十字相乘法分解因式，$x^{2}-x - 6=(x - 3)(x + 2)=0$，則$x - 3=0$或$x + 2=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-2$。
③方程$x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}=0$的解為
$x_{1}=\sqrt{2}$，$x_{2}=\sqrt{3}$
;
答案：$x_{1}=\sqrt{2}$，$x_{2}=\sqrt{3}$
解析：十字相乘法分解因式，$x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}=(x - \sqrt{2})(x - \sqrt{3})=0$，解得$x_{1}=\sqrt{2}$，$x_{2}=\sqrt{3}$。
④方程$2x^{2}+x - 6=0$的解為
$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-2$
;
答案：$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-2$
解析：十字相乘法分解因式，$2x^{2}+x - 6=(2x - 3)(x + 2)=0$，則$2x - 3=0$或$x + 2=0$，解得$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-2$。
變式1 方程$x^{2}-x - 12=0$的解是
$x_{1}=4$，$x_{2}=-3$
.
答案：$x_{1}=4$，$x_{2}=-3$
解析：十字相乘法分解因式，$x^{2}-x - 12=(x - 4)(x + 3)=0$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-3$。
變式2 已知$x^{2}+xy - 6y^{2}=0(x\neq0且y\neq0)$，則$\frac{y}{x}$的值是
$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{3}$
.
答案：$-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{2}$
解析：方程$x^{2}+xy - 6y^{2}=0$，兩邊同除以$x^{2}$得$1+\frac{y}{x}-6(\frac{y}{x})^{2}=0$，設$t=\frac{y}{x}$，則$-6t^{2}+t + 1=0$，即$6t^{2}-t - 1=0$，因式分解為$(2t - 1)(3t + 1)=0$，解得$t_{1}=\frac{1}{2}$，$t_{2}=-\frac{1}{3}$，即$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{3}$
