Question

【題目】已知二次函數，當時，恒有；關于的方程的兩個實數根的倒數和小于.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

①y＝x2＋（m＋3）x＋m＋2＝（x＋1）（x＋m＋2），再由當1＜x＜3時，恒有y＜0，可得出m的范圍；

②利用根與系數的關系，得出x1＋x2及x1x2的值，根據＜，也可得出m的取值范圍，兩個范圍結合可得出答案．

①由題意可得，方程x2＋（m＋3）x＋m＋2＝0與x軸有兩個交點，

故有△＞0，即（m＋3）24（m＋2）＞0，

解得：m≠1，

又因為y＝x2＋（m＋3）x＋m＋2＝（x＋1）（x＋m＋2），

當y＜0時，x可取兩個范圍：1＜x＜m2或m2＜x＜1，

而由題意得，當1＜x＜3時，恒有y＜0，

故可得，當y＜0時，x的取值范圍為：1＜x＜m2，

也可得出m2≥3，

解得：m≤5；

②由題意得，方程x2＋（m＋3）x＋m＋2＝0有實數根，

故有△≥0，即（m＋3）24（m＋2）≥0，

解得：m可取任意實數，

又因為＝＝＜，

解得：m＜12．

綜合①②可得：m＜12．