Question

【題目】在正方形中，點是邊上一點，連接.

圖1 圖2

（1）如圖1，點為的中點，連接.已知，，求的長；

（2）如圖2，過點作的垂線交于點，交的延長線于點，點為對角線的中點，連接并延長交于點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）作于點，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可推出，，在中，利用三角函數求出BP，FP，在等腰三角形中，求出BE，再由勾股定理求出AB，進而得到BC和CP，再次利用勾股定理即可求出CF的長度.

（2）過作垂直于點，得矩形，首先證明，得，再證明，可推出得.

解：（1）中，為中線，，

，.

作于點，如圖，

中，

在等腰三角形中，

，

由勾股定理求得，

（2）過作垂直于點，得矩形，

∵AB∥CD

∴∠MAO=∠GCO

在△AMO和△CGO中，

∵∠MAO=∠GCO，AO=CO，∠AOM=∠COG

∴△AMO≌△CGO（ASA）

∴AM=GC

∵四邊形BCGP為矩形，

∴GC=PB，PG=BC=AB

∵AE⊥HG

∴∠H+∠BAE=90°

又∵∠AEB+∠BAE=90°

∴∠AEB=∠H

在△ABE和△GPH中，

∵∠AEB=∠H，∠ABE=∠GPH=90°，AB=PG

∴△ABE≌△GPH（AAS）

∴BE=PH

又∵CG=PB=AM

∴BE=PH=PB+BH=CG+BH=AM+BH

即AM+BH=BE.