Question

【題目】已知AB⊥DE于A，C，O是AB上一點，且AC＝CO＝OB＝2，以O為圓心作扇形BOF，F到直線AB的距離為．

（1）求扇形BOF的面積：

（2）將直線DE繞A點旋轉得到直線D'E'；

①當直線D'E'與扇形BOF相切時，求旋轉角的大小；

②設直線D'E'與扇形BOF的弧相交于M、N，若AM＝MN，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①120°；②

【解析】

（1）根據扇形面積公式即可求扇形BOF的面積：

（2）①根據直線D″E″與扇形BOF相切，即可求旋轉角的大小；

②根據垂徑定理構造直角三角形根據勾股定理即可求MN的長．

解：如圖：

（1）∵AC＝CO＝OB＝2，

以O為圓心作扇形BOF，

∴OB＝OF＝2

過點F作FG⊥BC于點G，

∴FG＝，

∴sin∠GOF＝＝

∴∠GOF＝60°，

∴∠FOB＝120°，

∴S扇形BOF＝＝；

（2）①將直線DE繞A點旋轉得到直線D″E″，當直線D″E″與扇形BOF相切時，

設切點為F，

∴OF⊥D″E″，

∴sin∠OAF＝＝

∴∠OAF＝30°

∴∠EAE″＝120°

答：旋轉角的大小為120°；

②作OH⊥MN于點H，連接OM，

根據垂徑定理，得

MH＝MN，

設MH＝x，則MN＝AM＝2x，

∴AH＝3x，

OM＝OC＝AC＝2，

∴OA＝4，

根據勾股定理，得

OM2﹣MH2＝OA2﹣AH2

即4﹣x2＝16﹣9x2

解得x＝

∴MN＝2x＝．