Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，以AB為直徑的半⊙O’與y軸正半軸交于點C，連接BC，AC．CD是半⊙O’的切線，AD⊥CD于點D．

（1）求證：∠CAD =∠CAB；

（2）已知拋物線過A、B、C三點，AB=10 ，tan∠CAD=．

① 求拋物線的解析式；

   ② 判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由；

③ 在拋物線上是否存在一點P，使四邊形PBCA是直角梯形．若存在，直接寫出點P的坐標(不寫求解過程)；若不存在，請說明理由．

解：

 

Answer 1

 (1)證明：連接O'C,∵ CD是⊙O’的切線    ∴ O'C⊥CD.

∵ AD⊥CD,∴ O'C‖AD,∴ ∠O’CA=∠CAD

∵ O’A=O'C, ∴∠O’CA=∠CAB  ∴ ∠CAD=∠CAB  

(2)∵AB是⊙O’的直徑，∴∠ACB=90°. 

∵OC⊥AB,∴∠CAB=∠OCB,∴∆CAO∽∆BCO∴即OC²=OA∙ OB

∵tan∠CAO=tan∠CAD=,  ∴AO=2CO

又 ∵AB=10,∴OC²=2CO(10-2CO),  ∵CO>0  ∴CO=4,AO=8,BO=2

∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4) ..∵ 拋物線y=ax²+bx+c過A、B、C三點，∴c=4

∴      解得    

 ‚設直線DC交x軸于點F，易得∆AOC∽∆ADC

 ∴ AD=AO=8,  ∵O'C‖AD  ∴∆FO’C∽∆FAD  ∴

∴8(BF+5)=5(BF+10),  ∴  BF=,  F(,0)

設直線DC的解析式為y=kx+m,則   即

∴                         .

由

將E（-3，）代入直線DC的解析式中

右邊=

 ∴ 拋物線頂點E在直線CD上  .

ƒ存在,