Question

13．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{3}BC$，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$
（1）填空：$\overrightarrow{BM}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{MA}$=-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$（結(jié)果用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示）
（2）直接在圖中畫出向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）

Answer 1

分析 （1）由在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{3}BC$，可求得$\overrightarrow{BC}$，然后由點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，求得$\overrightarrow{BM}$，再利用三角形法則求解即可求得$\overrightarrow{MA}$；
（2）首先過點(diǎn)A作AE∥CD，交BC于點(diǎn)E，易得四邊形AECD是平行四邊形，即可求得$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{a}$，即可知$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．

解答 解：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{3}BC$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{a}$，
∵點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$；
∴$\overrightarrow{MA}$=-$\overrightarrow{AM}$=-（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$）=-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$；
故答案為：$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$，-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$；

（2）過點(diǎn)A作AE∥CD，交BC于點(diǎn)E，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{EC}$=2$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平面向量的知識(shí)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．