Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（4，3）．平行于對角線AC的直線m從原點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t（秒）．
（1）點A的坐標是：_________，點C的坐標是：__________；
（2）設△OMN的面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）探求（2）中得到的函數S有沒有最大值？若有，求出最大值；若沒有，說明理由．

Answer 1

解：（1）（4，0）、（0，3）
（2）當0＜t≤4時，OM=t．
由△OMN∽△OAC，得，
∴　ON＝，S=×OM×ON=．
當4＜t＜8時，如圖，

∵ OD=t，∴ AD= t-4．
由△DAM∽△AOC，可得AM=．
而△OND的高是3．
S=△OND的面積-△OMD的面積
=×t×3-×t×　　　　　
=． 　　　　
(3) 有最大值．
方法一：當0＜t≤4時，
∵ 拋物線S=的開口向上，在對稱軸t=0的右邊， S隨t的增大而增大，
∴ 當t=4時，S可取到最大值=6；
當4＜t＜8時，
∵ 拋物線S=的開口向下，它的頂點是（4，6），
∴ S＜6．
綜上，當t=4時，S有最大值6．
方法二：∵ S= 
∴ 當0＜t＜8時，畫出S與t的函數關系圖像，如圖所示．

顯然，當t=4時，S有最大值6.

（1）根據B點的坐標即可求出A、C的坐標；
（2）本問要分類進行討論：
①當直線m在AC下方或與AC重合時，即當0＜t≤4時，根據平行得到兩對同位角的相等可證△OMN∽△OAC，用兩三角形的相似比求出面積比，即可得出S與t的函數關系式；
②當直線m在AC上方時，即當4＜t＜8時，由平行得到一對同位角相等，再由一對直角的相等得到△DAM∽△AOC，根據相似得比例，由OD，AD表示出AM的長，進而得到BM的長，再由MN∥AC，得到兩對同位角的相等，從而得到△BMN∽△BAC，由相似得比例BN的長，從而得到CN的長，然后分別表示出各個三角形的面積，可用矩形OABC的面積-三角形BMN的面積-三角形OCN的面積-三角形OAM的面積來求得
（3）根據（2）得出的函數的性質和自變量的取值范圍即可求出面積S的最大值及對應的t的值．