Question

已知拋物線y=ax²+2x+c的圖象與x軸交于點A（3，0）和點C，與y軸交于點B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點D，使得點D到點B、C的距離之和最小，并求出點D的坐標；
（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）（1，2）（3）存在，（ ，）

解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c的圖象經過點A（3，0）和點B（0，3），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為：。
（2）∵，∴對稱軸為x=1。
令，解得x₁=3，x₂=－1，∴C（－1，0）。
如圖1所示，連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點，

由于A、C兩點關于對稱軸對稱，則此時DB+DC=DB+DA=AB最小。
設直線AB的解析式為y=kx+b，
由A（3，0）、B（0，3）可得：
，解得。
∴直線AB解析式為y=－x＋3。
當x=1時，y=2，∴D點坐標為（1，2）。
（3）結論：存在。
如圖2，設P（x，y）是第一象限的拋物線上一點，
過點P作PN⊥x軸于點N，

則ON=x，PN=y，AN=OA－ON=3－x．


∵P（x，y）在拋物線上，∴，代入上式得：
。
∴當x= 時，S_△ABP取得最大值。
當x=  時，，∴P（， ）。
∴在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大，P點的坐標為（ ，）。
（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式。
（2）連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點．為求D點坐標，求出直線AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D點坐標。
（3）求出△ABP的面積表達式．這個表達式是一個關于P點橫坐標的二次函數，利用二次函數求極值的方法可以確定P點的坐標。